Exercices
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Série Exercices et Correction
le Dipôle RC
Problèmes
Exercice corrigé 1 : Charge d’un condensateur. Étude de la tension Uc(t) aux bornes d’un condensateur.
Un condensateur de capacité C initialement déchargé est branché en série avec un conducteur ohmique de résistance R=100Ω et un générateur idéal de tension continue de valeur en tension E. On étudie donc le dipôle RC série, à la date t=0s, on bascule l’interrupteur en position (1), comme le montre la figure.
1. Déterminer le sens du courant électrique ainsi que le sens des tensions des composantes du circuit puis préciser la polarité de l’armature A du condensateur.
2. Etablir l’équation différentielle que vérifie la tension Uc(t) aux bornes du condensateur.
3. La solution générale de cette équation différentielle en tension est de la forme : Uc(t)=A +Be-mt.
a- En remplaçant la solution proposée dans l’équation différentielle, trouver les constantes A et m.
b- En tenant compte de la condition initiale de la tension Uc(t), trouver la valeur de la constante B et réécrire la forme de la tension Uc(t) en illustrant toutes les constantes. Définir alors une constante de temps qu’on la note τ.
4. La figure 2 représente l’évolution au cours du temps de la tension Uc(t). Graphiquement trouver numériquement la constante de temps τ, la tension du générateur E puis la capacité C du condensateur.
5. Monter qu’au bout d’un temps tp=4,6 τ on obtient le régime permanent. (La tension Uc(t) atteint une valeur constante égale à E).
6. Donner l’expression de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur. Calculer sa valeur pour t= τ , ainsi qu'en régime permanent.
7. Trouver l’expression du courant électrique i(t), le représenter.
Solution : Exercice 1- charge d’un condensateur. Étude de la tension Uc aux bornes d’un condensateur
Exercice corrigé 2 : Etude de l’évolution du courant électrique i(t) dans le circuit RC.
On considère le montage du circuit de l’exercice 1.
1. En appliquant la loi d’additivité des tensions, trouver l’équation différentielle de la charge électrique q(t) dans le circuit.
2. Juste après la fermeture de l’interrupteur K, un courant I0 circule dans le circuit RC, trouver l’expression littérale de I0 en fonction de R et E.
3. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit le courant i(t).
4. La solution de cette équation et alors : i(t)=Ae-t/ τ avec τ=RC. Trouver la constante A en fonction de I0.
5. Vérifier que le courant n’est pas une fonction continue à t=0s.
Solution : Exercice 2 : Etude de l’évolution du courant électrique i(t) dans le circuit RC. La durée de résolution pour cette partie ne doit pas dépasser 20min au maximum.
Exercice corrigé 3 : Détermination de la valeur de capacité par autre méthode.
Un condensateur initialement déchargé est inséré dans le circuit suivant:
Le conducteur ohmique a une résistance R=100Ω. On veut alors déterminer la capacité C du condensateur et la tension E du générateur.
1. À t=0s on ferme l’interrupteur K. établir l’équation différentielle vérifiée par Uc(t).
2. Vérifier que Uc(t)=A(1-e-t/ τ) est bien une solution de cette équation différentielle. Montrer alors que :
ln(E-Uc)=ln(E) - t/ τ.
3. La figure (2) donne la variation de ln(E-Uc) en fonction de t. Trouver graphiquement la valeur des grandeurs E et τ.
4. On note Ee l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à la date t= τ, et Ee(max) l’énergie électrique maximale du condensateur. Calculer le rapport Ee/Ee(max).
5. On insère un autre condensateur de capacité C’. Le circuit a donc une constante de temps égale à τ’= τ/3.On a inséré le condensateur C’ en série ,en parallèle ?justifier la réponse.
Solution : Exercice 3 RC - durée 35min
Exercices Dipôle RC : La deuxième Partie : réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension descendent.
Exercice 4 : Décharge d’un condensateur à travers un conducteur ohmique.
On considère un condensateur de capacité C, initialement chargé par l’intermédiaire d’un générateur de tension continue E, on met le condensateur en série avec un conducteur ohmique de résistance R=100Ω, on obtient alors un circuit RC (dipôle RC), le condensateur se décharge à travers la résistance R. (montage de la figure 1)
1. Orienter le circuit de décharge de la figure 1. (Sens du courant et de tensions)
2. En appliquant la loi d’additivité de tensions : Trouver l’équation différentielle de la tension Uc aux bornes du condensateur.
3. On donne la solution de cette équation différentielle : Uc(t)=A+Be-t/τ. Préciser la valeur littérale des constantes A, B et m.
4. En effectuant une analyse dimensionnelle, montrer que la constante τ est homogène à un temps.
5. A l’aide d’un dispositif expérimental, on effectue l’acquisition des valeurs de la tension Uc aux bornes du condensateur en fonction du temps.
a. Déterminer graphiquement la tension de la charge E et la constante de temps τ. En déduire la capacité C.
b. Par étude théorique montrer que la décharge du condensateur à lieu pour une durée tp~5 τ.
c. Donner l’expression de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur et la calculer à t= τ, puis à t=2 τ.
Exercice Corrigé 5: étude de la charge q d’un dipôle rc.
Après la charge d’un condensateur (l’interrupteur en position 1), à un instant de date t=0s, On bascule l’interrupteur en position 2.il y a donc décharge de condensateur à travers le conducteur ohmique de résistance R=100Ω.
- Etablir cette fois l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur.
- L’équation différentielle admet la solution : q(t)=Qe-t/τ. Trouver l’expression des constantes Q et τ.
- On représente graphiquement la fonction Ln(q) en fonction de temps, En exploitant le graphique, trouver numériquement la valeur de la tension du générateur E et la capacité C du condensateur.
Solution d'exercices 5 : Détermination de la capacité C d'un condensateur et la tension de charge E d'un générateur.
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Exercice.6
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